El límite es una rama esencial del cálculo que se ocupa del comportamiento de las funciones en un punto específico. Esta rama del cálculo es ampliamente utilizada para resolver la dificultad de resolver y definir otras ramas del cálculo.
En esta entrada del blog, vamos a explicar el cálculo de límites. Explicaremos los conceptos básicos del cálculo de límites, sus tipos, sus propiedades y métodos con cálculos.
Explicación del cálculo de límites
En matemáticas, el límite es uno de los principales tipos de cálculo junto con la integración y la diferenciación. De hecho, esta rama del cálculo es una forma de definir otras ramas. Esta rama del cálculo se ocupa del comportamiento de funciones, series y secuencias.
Calcula el comportamiento de la función en un punto específico (como una variable independiente de la función se aproxima a un punto en particular). La definición básica de límite es: Se dice que una función f(t) cuando «t» se aproxima a un punto específico «b» es el límite de f(t) y se denota por:
Limt→b f(t)
Si este punto específico «b» existe y es único, será igual a «L», que se conoce como el límite en ese punto. Como:
Limt→b f(t) = L
Tipos de cálculo de límites
Existen varios tipos de límites como:
Límite unilateral
El límite unilateral es un tipo bien conocido de cálculo de límites que se ocupa del comportamiento de la función a medida que la variable independiente «y» se acerca al punto específico «b», ya sea desde el lado izquierdo o desde el lado derecho.
Se dice que el valor que se aproxima desde el lado izquierdo es el límite de la mano izquierda y se representa como:
Limt→b^- f(t) = L
Mientras que el valor que se aproxima desde el lado derecho se dice que es el límite de la mano derecha y se representa como:
Limt→b^+ f(t) = L
Límites infinitos
El límite infinito es otro tipo de cálculo de límite que se ocupa del comportamiento de la función si se acerca al infinito negativo o al infinito positivo. El límite se conoce como límite infinito si:
· Para infinito positivo: Limt→b f(t) = ∞
· Para infinito negativo: Limt→b f(t) = -∞
Límite de series
La convergencia o divergencia de una serie infinita se puede definir con la ayuda de límites. Cuando el número de términos se aproxima al infinito «∞», entonces se dice que este tipo de acción es el límite de la serie y se representa como:
Limt→b n=1∑m an
Límite de secuencias
Los límites no solo se aplican a las funciones; También se aplica a las secuencias. Sea a k una sucesión, entonces el límite de a k cuando «k» se acerca a «∞» se representa como:
Limk→∞ ak
Reglas del Cálculo de Límites
Hay varias reglas del cálculo de límites que son esenciales para encontrar el límite de las funciones algebraicas y trigonométricas en un punto dado.
Regla de suma/diferencia del cálculo de límites
La regla de suma/diferencia del cálculo de límites es una regla bien conocida para tratar con funciones que tienen signos más o menos. Esta regla te ayudará a simplificar la función aplicando la notación del límite con cada término por separado. Como
· Limt→b [f(t) + g(t)] = Limt→b f(t) + Limt→b g(t)
· Limt→b [f(t) – g(t)] = Limt→b f(t) – Limt→b g(t)
Regla del Producto/Cociente del Cálculo del Límite
A diferencia de la regla de suma/diferencia del cálculo de límites, la regla producto/cociente es una regla bien conocida para tratar con funciones que tienen signos de multiplicación o división. Esta regla te ayudará a simplificar la función aplicando la notación del límite con cada término por separado. Como
· Limt→b [f(t) x g(t)] = Limt→b f(t) x Limt→b g(t)
· Limt→b [f(t) / g(t)] = Limt→b f(t) / Limt→b g(t)
Regla constante del cálculo de límites
La regla constante del cálculo de límites establece que el límite de cualquier término o función constante permanecerá sin cambios, ya que no hay ninguna variable independiente presente para poner el valor del punto específico. Como:
Limt→b k = k
Regla de la función constante del cálculo de límites
La regla de la función constante del cálculo de límites establece que el coeficiente constante junto con la función se escribirá fuera de la notación de límite para facilitar los cálculos. Como:
Li Limt→b k f(t) = k Limt→b f(t)
Regla de potencia del cálculo de límites
La regla de potencia del cálculo de límites establece que primero se tomará el límite de la función y luego se aplicará el exponente, como:
Limt→b f(t)n = [Limt→b f(t)]n
Métodos de evaluación de límites
En esta sección, vamos a explorar varios métodos para calcular límites problemas con ejemplos relevantes.
Método de Sustitución Directa del Cálculo de Límites
El método de sustitución directa es un método bien conocido y sencillo para evaluar el límite. De acuerdo con este método, el valor de la variable independiente «y» se sustituirá directamente por la expresión.
Se dice que el valor de la expresión es el límite si una función dada se define en el punto específico «b». Este método solo es aplicable cuando la función se define en el punto dado y no tiene una forma indeterminada.
Ejemplo
Evalúe el valor límite de la función «f(t) = 5t5 x 6sin(t) – 4t3 / 15t2 + 12t – 30″ cuando «t» se aproxima 5.
Solución
Paso 1: Escribe la expresión dada de acuerdo con la notación general del cálculo de límites.
f(t) = 5t5 x 6sin(t) – 4t3 / 15t2 + 12t – 30
Limt→b [f(t)] = Limt→5 [5t5 x 6sin(t) – 4t3 / 15t2 + 12t – 30]
Paso 2: Ahora aplique las reglas de suma, diferencia, producto y cociente del cálculo de límites para simplificar la expresión aplicando la notación de límite por separado con cada término de la expresión.
Limt→5 [5t5 x 6sin(t) – 4t3 / 15t2 + 12t – 30] = Limt→5 [5t5] x Limt→5 [6sin(t)] – Limt→5 [4t3] / Limt→5 [15t2] + Limt→5 [12t] – Limt→5 [30]
Paso 3: Ahora usa la regla de la función constante del cálculo de límites.
Limt→5 [5t5 x 6sin(t) – 4t3 / 15t2 + 12t – 30] = 5 Limt→5 [t5] x 6 Limt→5 [sin(t)] – 4 Limt→5 [t3] / 15 Limt→5 [t2] + 12 Limt→5 [t] – Limt→5 [30]
Paso 4: Ahora evalúe la expresión anterior usando el método de sustitución directa del cálculo de límites poniendo t = 5.
Limt→5 [5t5 x 6sin(t) – 4t3 / 15t2 + 12t – 30] = 5 [55] x 6 [sin(5)] – 4 [53] / 15 [52] + 12 [5] – [30]
Simplifique la expresión anterior para obtener el valor límite.
= 5 [3125] x 6 [sin(5)] – 4 [125] / 15 [25] + 12 [5] – [30]
= 15625 x 6 [sin(5)] – 500 / 375 + 60 – 30
= 15625 x 6 [-0,28] – 500 / 375 + 60 – 30
= 15625 x (-1,68) – 500 / 375 + 60 – 30
= -26250 – 500 / 375 + 60 – 30
= -26251.34 + 60 – 30
= -26191.34 – 30
= -26221.34
Método de factorización del cálculo de límites
El método de factorización es otro método para evaluar el límite. Este método es aplicable cuando la expresión dada implica una función racional. De acuerdo con este método, la expresión podría simplificarse haciendo los factores.
Después de hacer los factores, puede cancelar los factores comunes para evitar la forma indeterminada que se podría hacer aplicando el valor de una variable independiente. Puede ver el siguiente ejemplo para entenderlo con precisión.
Ejemplo
Calcule el valor límite de g(t) = (2t 2 – 5t + 12) / (t2 – 16) cuando «t» se aproxima a 4
Solución
Paso 1: Escribe la expresión dada de acuerdo con la notación general del cálculo de límites.
g(t) = (2t2 – 5t – 12) / (t2 – 16)
Limt→b [g(t)] = Limt→4 [(2t2 – 5t – 12) / (t2 – 16)]
Paso 2: Ahora aplique las reglas de suma, diferencia y cociente del cálculo de límites para simplificar la expresión aplicando la notación de límite por separado con cada término de la expresión.
Limt→4 [(2t2 – 5t – 12) / (t2 – 16)] = (Limt→4 [2t2] – Limt→4 [5t] – Limt→4 [12]) / (Limt→4 [t2] – Limt→4 [16])]
Paso 3: Ahora coloque t = 4 en la expresión anterior.
Limt→4 [(2t2 – 5t – 12) / (t2 – 16)] = ([2 (4)2] – [5(4)] – [12]) / ([42] – [16])]
Limt→4 [(2t2 – 5t – 12) / (t2 – 16)] = ([2 (16)] – [20] – [12]) / ([16] – [16])]
Limt→4 [(2t2 – 5t – 12) / (t2 – 16)] = (32 – 28) / (16 – 16)
Limt→4 [(2t2 – 5t – 12) / (t2 – 16)] = 4/0 = ∞
Tenemos que hacer factores de la expresión dada, ya que forma una forma indeterminada colocando el valor específico.
Paso 4: Ahora factoriza el polinomio dado.
[(2t 2 – 5t – 12) / (t 2 – 16)] = [(2t 2 – 5t – 3t + 3t – 12) / (t 2 – 4 2)]
[(2t 2 – 5t – 12) / (t 2 – 16)] = [(2t 2 – 8t + 3t – 12) / (t 2 – 4 2)]
[(2t 2 – 5t – 12) / (t2 – 16)] = [(2t (t – 4) + 3 (t – 4)) / (t – 4) (t + 4)]
[(2t 2 – 5t – 12) / (t2 – 16)] = [(t – 4) (2t + 3) / (t – 4) (t + 4)]
Cancele los términos similares de la expresión anterior
[(2t 2 – 5t – 12) / (t2 – 16)] = [(t – 4) (2t + 3) / (t – 4) (t + 4)]
[(2t 2 – 5t – 12) / (t2 – 16)] = [(2t + 3) / (t + 4)]
Paso 5: Ahora aplica el valor específico de nuevo colocando t = 4
Limt→4 [(2t2 – 5t – 12) / (t2 – 16)] = Limt→4 [(2t + 3) / (t + 4)]
Limt→4 [(2t2 – 5t – 12) / (t2 – 16)] = (Limt→4 [2t] + Limt→4 [3]) / (Limt→4 [t] + Limt→4 [4])
Limt→4 [(2t2 – 5t – 12) / (t2 – 16)] = ([2 (4)] + [3]) / ([4] + [4])
Limt→4 [(2t2 – 5t – 12) / (t2 – 16)] = (8 + 3) / (4 + 4)
Limt→4 [(2t2 – 5t – 12) / (t2 – 16)] = 11/8 = 1.375
Métodos de cálculo límite de pares conjugados
El método de pares conjugados es un método para encontrar el límite si la función dada involucra una raíz cuadrada. Tienes que racionalizar la función multiplicando la expresión por el conjugado del denominador para simplificar la función dada.
Este método te ayudará a eliminar las raíces cuadradas y evitar la posibilidad de forma indeterminada después de colocar el punto específico dado.
Ejemplo
Calcule el valor límite de h(t) = (t – 16) / (√t – 4) cuando «t» tiende a 16
Solución
Paso 1: Escribe la expresión dada de acuerdo con la notación general del cálculo de límites.
h(t) = (t – 16) / (√t – 4)
Limt→b [h(t)] = Limt→16 [(t – 16) / (√t – 4)]
Paso 2: Ahora aplique las reglas de suma, diferencia y cociente del cálculo de límites para simplificar la expresión aplicando la notación de límite por separado con cada término de la expresión.
Limt→16 [(t – 16) / (√t – 4)] = (Limt→16 [t] – Limt→16 [16]) / (Limt→16 [√t] – Limt→16 [4])
Paso 3: Ahora sustituya u = 49.
Limt→16 [(t – 16) / (√t – 4)] = ([16] – [16]) / ([√16] – [4])
Limt→16 [(t – 16) / (√t – 4)] = (16 – 16) / ([√42] – 4)
Limt→16 [(t – 16) / (√t – 4)] = (0) / (4 – 4) = 0/0
Tenemos que multiplicar el conjugado del denominador por la expresión para hacerlo en la forma más simple, ya que forma indeterminada colocando el valor específico.
Paso 4: Ahora multiplica el numerador y el denominador de la expresión dada por el conjugado «(√t + 4)».
[(t – 16) / (√t – 4)] = [(t – 16) / (√t – 4)] x [(√t + 4) / (√t + 4)]
[(t – 16) / (√t – 4)] = [(t – 16) x (√t + 4) / (√t – 4) x (√t + 4)]
[(t – 16) / (√t – 4)] = [(t – 16) x (√t + 4) / ((√t)2 – 42)]
[(t – 16) / (√t – 4)] = [(t – 16) x (√t + 4) / (t – 16)]
Cancele los términos similares de la expresión anterior
[(t – 16) / (√t – 4)] = [(t – 16) x (√t + 4) / (t – 16)]
[(t – 16) / (√t – 4)] = [(√t + 4)]
Paso 5: Ahora aplica el valor específico de nuevo colocando t = 16
Limt→16 [(t – 16) / (√t – 4)] = Limt→16 [(√t + 4)]
Limt→16 [(t – 16) / (√t – 4)] = (Limt→16 [√t] + Limt→16 [4])
Limt→16 [(t – 16) / (√t – 4)] = ([√16] + [4])
Limt→16 [(t – 16) / (√t – 4)] = ([√42] + [4])
Limt→16 [(t – 16) / (√t – 4)] = (4 + 4) = 8
Envolver
El límite juega un papel restrictivo en el cálculo para determinar el comportamiento de las funciones, así como para definir otros tipos de cálculo, como la derivada y la integral. Puede obtener una guía completa sobre el cálculo de límites, ya que hemos discutido este tema en detalle con ejemplos resueltos.
Deja un comentario